Question

四面体ABCD中，AB=BC=CD=AC=BD=

2

，二面角A-BC-D的余弦值

1

3

，则此四面体的外接球体积为

 

．

Answer 1

分析：根据四面体ABCD中，AB=BC=CD=AC=BD=

2

，二面角A-BC-D的余弦值

1

3

，结合四面体的几何特征及余弦定理，我们易求出AD的长，进而求出该四面体的外接球半径，代入球的体积公式，即可得到答案．

解答：解：由AB=BC=CD=AC=BD=

2

，
二面角A-BC-D的余弦值

1

3

，
设BC边的中点为O，则∠AOD即为二面角A-BC-D的平面角
且AO=D0=

6

2

，由余弦定理得：AD=

2

则四面体ABCD为正四面体
则正四面体的外接球半径为：

3

2

则此四面体的外接球体积为V=

4

3

•π(

3

2

)3=

3 π

2

故答案为：

3 π

2

点评：本题考查的知识点是球的体积和表面积，棱锥的几何特征，其中根据已知条件求出，该四面体的外接球半径，是解答本题的关键．