Question

已知数列{a_n}的首项a₁=

2

3

，a_n+1=

2an

an+1

，n=1，2，…．
（Ⅰ）证明：数列{

1

an

-1}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{

n

an

}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）化简an+1=

2an

an+1

构造新的数列 {

1

an

-1}，进而证明数列{

1

an

-1}是等比数列．
（2）根据（1）求出数列{

1

an

-1}的递推公式，得出a_n，进而构造数列{

n

an

}，求出数列{

n

an

}的通项公式，进而求出前n项和S_n．

解答：解：（Ⅰ）由已知：an+1=

2an

an+1

，
∴

1

an+1

=

an+1

2an

=

1

2

+

1

2

•

1

an

，（2分）
∴

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)，
又a1=

2

3

，∴

1

a1

-1=

1

2

，（4分）
∴数列{

1

an

-1}是以

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

1

an

-1=

1

2

•(

1

2

)n-1=

1

2n

，
即

1

an

=

1

2n

+1，∴

n

an

=

n

2n

+n．（8分）
设Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

++

n

2n

，①
则

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

++

n-1

2n

+

n

2n+1

，②
由①-②得：

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

++

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，（10分）
∴Tn=2-

1

2n-1

-

n

2n

．又1+2+3++n=

n(n+1)

2

．（12分）
∴数列{

n

an

}的前n项和：Sn=2-

2+n

2n

+

n(n+1)

2

=

n2+n+4

2

-

2+n

2n

．（14分）

点评：此题主要考查通过构造新数列达到求解数列的通项公式和前n项和的方法．