Question

3．求下列函数的值域
（1）y=log₂（x²-4x+6）；
（2）y=log₂$\frac{1}{-{x}^{2}+2x+2}$；
（3）y=log₂（x²-4x-5）．

Answer 1

分析 （1）配方得x²-4x+6=（x-2）²+2，从而求函数的值域；
（2）化简$\frac{1}{-{x}^{2}+2x+2}$=$\frac{1}{-（x-1）^{2}+3}$，从而可得$\frac{1}{-（x-1）^{2}+3}$∈[$\frac{1}{3}$，+∞），从而解得；
（3）配方得x²-4x-5=（x-2）²-9，从而求函数的值域．

解答 解：（1）∵x²-4x+6=（x-2）²+2≥2，
∴y=log₂（x²-4x+6）≥log₂2=1；
∴函数的值域为[1，+∞）；
（2）∵$\frac{1}{-{x}^{2}+2x+2}$=$\frac{1}{-（x-1）^{2}+3}$，
∴$\frac{1}{-（x-1）^{2}+3}$∈[$\frac{1}{3}$，+∞），
∴y=log₂$\frac{1}{-{x}^{2}+2x+2}$≥log₂$\frac{1}{3}$=-log₂3；
∴函数的值域为[-log₂3，+∞）；
（3）∵x²-4x-5=（x-2）²-9，
∴（x-2）²-9∈（0，+∞），
∴y=log₂（x²-4x-5）∈R，
∴函数的值域为R．

点评 本题考查了函数的值域的求法及应用．