Question

已知函数f（x）=x²-x+sinθ+cosθ，（1）若f（2）=1，求θ的值．（2）当x∈[0，1]时，不等式f（x）＞0恒成立．试求θ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用f（2）=1，可得三角方程，即可求得；
（2）将不等式f（x）＞0 转化为

2

sin(θ+

π

4

)＞x-x2=-(x-

1

2

)2+

1

4

；x∈[0，1]，从而利用最值法可解．

解答：解：（1）∵f（2）=1，
∴sinθ+cosθ=-1，
∴sin(θ+

π

4

)=-

2

2

，θ=2kπ-

π

2

，或θ=2kπ+π，k∈Z
（2）

2

sin(θ+

π

4

)＞x-x2=-(x-

1

2

)2+

1

4

；x∈[0，1]，
右边函数的最大值为

1

4

sin(θ+

π

4

)＞

2

8

，2kπ+arcsin

2

8

＜θ+

π

4

＜2kπ+π-arcsin

2

8

k∈Z．

点评：本题以函数为载体，考查三角方程，考查不等式恒成立问题，注意转化的策略．