题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）函数f（x）的图象由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到？（写出变换过程）
（3）在△ABC中，若 $数学公式$ ，求tanA的值．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ =1+sin2x，
∴ $\text{[math]}$ =sin2x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
所以f（x）的最小正周期T= $\text{[math]}$ =π，
由 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$
∴函数f（x）的单增区间为[ $\text{[math]}$ ]，k∈Z
（2）函数f（x）的图象可由函数y=sinx的图象先向左平移 $\text{[math]}$ 个单位，
然后将图象上的点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 $\text{[math]}$ ，最后将图象上的点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍而得．
（3）由（1）得 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$
∵0＜C＜π， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，
∵在△ABC中，π-B=A+C，得sinB=sin（A+C）
∴2sinB=cos（A-C）-cos（A+C）可化为：2sin（A+C）=cos（A-C）-cos（A+C）
展开化简得：2sinAcosC+2cosAsinC=2sinAsinC，
将 $\text{[math]}$ 代入，得2sinAcos $\text{[math]}$ +2cosAsin $\text{[math]}$ =2sinAsin $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ sinA+cosA=sinA，即（ $\text{[math]}$ ）sinA=-cosA，
所以 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）用三角函数的降幂公式结合 $\text{[math]}$ 的诱导公式，可得 $\text{[math]}$ =1+sin2x．代入函数f（x），再用辅助角公式： $\text{[math]}$ ，进行合并化简得f（x）= $\text{[math]}$ ，最后可用函数y=Asin（ωx+φ）的周期与单调性的结论与公式，得到函数f（x）的最小正周期和单调增区间．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的规律，先进行相位变换将图象左移，然后再分别进行横坐标和纵坐标的伸缩，可得到函数f（x）= $\text{[math]}$ 的变换过程．
（3根据（1）的表达式，解方程 $\text{[math]}$ ，结合C为三角形内角，得到 $\text{[math]}$ ，将其代入已知等式化简可得（ $\text{[math]}$ ）sinA=-cosA，最后利用同角三角函数的关系，可得 tanA的值．
点评：本题给出一个特殊的三角函数，结合三角函数的降次公式、诱导公式和辅助角公式，求函数的单调区间与周期，以及求三角函数的值，着重考查了正弦函数的单调性、三角函数的化简求值和函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识点，属于中档题．