Question

若多面体的各个顶点都在同一球面上，则称这个多面体内接于球．如图，设长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内接于球O，且AB=BC=2，AA1=2

2

，则A、B两点之间的球面距离为

 

．

Answer 1

分析：已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD边长为2，高AA₁=2

2

，它的八个顶点都在同一球面上，那么，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线长为球的直径，中点O为球心，根据球面距离的定义，应先算出球面两点对球心的张角，再乘以球的半径即可．

解答：解：由题意可得：长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁为正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，
所以正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD边长为2，高AA₁=2

2

，它的八个顶点都在同一球面上，
则正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线长为球的直径，中点O为球心．
所以正四棱柱对角线AC₁=4，
则球的半径为2．
在△AOB中根据余弦定理可得∠AOB=

π

3

；
则A，B两点的球面距离为

π

3

•2=

2π

3

故答案为：

2π

3

．

点评：解决多面体与球相关的“切”“接”问题时，关键是抓住球心的位置，球心是球的灵魂，再根据球面距离的定义，应先算出球面两点对球心的张角，再乘以球的半径．这是通性通法．