Question

命题“若过双曲线-y²=1的一个焦点F作与x轴不垂直的直线交双曲线于A、B两点，线段AB的垂直平分线交X轴于点M则为定值，且定值为．
（1）试类比上述命题，写出一个关于椭圆C：+=1的类似的正确命题，并加以证明；
（2）试推广（1）中的命题，给出关于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题（不证明）．

Answer 1

【答案】分析：（1）关于椭圆C的类似命题是：过椭圆的一个焦点F₂（4，0）作与x轴不垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则为定值，且定值为．
证明：设直线l为：y=k（x-4），当k=0时，l与x轴重合，|AB|=10，|FM|=4，．当k≠0时，由，得（25k²+9）x²-8×25k²+25（16k²-9）=0，由根的判别式和韦达定理知AB的垂直平分线方程为：，由此能够证明．
（2）过圆锥曲线E的一个焦点F作与x轴不垂直的直线交曲线E于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，由此知则为定值．
解答：解：（1）关于椭圆C的类似命题是：
过椭圆的一个焦点F₂（4，0）作与x轴不垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则为定值，且定值为．
证明：由于l与x轴不垂直，设直线l为：y=k（x-4），
①当k=0时，l与x轴重合，|AB|=10，|FM|=4，．
②当k≠0时，由，
消去y，得（25k²+9）x²-8×25k²+25（16k²-9）=0，
△=（8×25k²）²-4×25（25k²+9）（16k²-9）=4×25×9²（k²+1），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
AB中点N（x，y），
则，
∴=，
AB的垂直平分线方程为：，
令y=0，解得x=，
∴，
∴，

=，
∴．
（2）过圆锥曲线E的一个焦点F作与x轴不垂直的直线交曲线E于A、B两点，
线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则为定值，且定值为．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．