Question

若数列{a_n}中，a₁=1，点（a_n，a_n+1+1）（n∈N^*）在函数f（x）=2x+1的图象上，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{2na_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）：将点（a_n，a_n+1+1）（n∈N^*）代入函数f（x）=2x+1的解析式，整理后发现{a_n}是公比为2的等比数列，通项公式可求：a_n=2^n-1
（2）2na_n=2n•2^n-1=n•2ⁿ，利用错位相减法求解．

解答：解：（1）∵（a_n，a_n+1+1）（n∈N^*）在函数f（x）=2x+1的图象上
则a_n+1+1=2a_n+1（n∈N^*）有a_n+1=2a_n
∵a₁=1，
∴a_n≠0，
∴

an+1

an

=2
∴{a_n}是公比为2的等比数列，通项公式为a_n=2^n-1（n∈N^*）
（2）2na_n=2n•2^n-1=n•2ⁿ，S_n=2+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ①2S_n=2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹②
①-②有-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
故S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2（n∈N^*）

点评：本题主要考查等比数列的判定，性质和数列的求和．对于一些特殊数列的求和可利用错位相减法、裂项法等方法来解决．