Question

双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）设双曲线方程为

不妨设l₁:bx-ay=0,l₂:bx+ay=0,

所以

（Ⅱ）由a=2b知，双曲线的方程可化为

x²-4y²=4b².①

由l₁的斜率为知，直线AB的方程为

Y=-2(x-).②

将②代入①并化简，得

设AB与双曲线的两交点的坐标分别为（x₁,y₁），(x₂,y₂)，则

③

AB被双曲线所截得的线段长

④

将③代入④，并化简得，而由已知l=4，故b=3,a=6.

所以双曲线的方程为