Question

17．y=$\frac{\sqrt{sinx}+\sqrt{sinx+cosx}}{\sqrt{cosx}+\sqrt{sinx+cosx}}$的最大值是2．

Answer 1

分析 根据题意得出$\left\{\begin{array}{l}{sinx≥0}\\{cosx≥o}\end{array}\right.$，讨论cosx=0与cosx≠0时，求出函数y的最大值即可．

解答 解：根据题意得，$\left\{\begin{array}{l}{sinx≥0}\\{cosx≥o}\end{array}\right.$，
当cosx=0时，sinx=1，y=$\frac{1+1}{1}$=2；
当cosx≠0时，y=$\frac{\sqrt{tanx}+\sqrt{tanx+1}}{1+\sqrt{tanx+1}}$，
设tanx=t，t≥0，
∴f（t）=$\frac{\sqrt{t}+\sqrt{t+1}}{1+\sqrt{t+1}}$=$\frac{\sqrt{t}-1}{1+\sqrt{t+1}}$+1＜$\frac{\sqrt{t}+1-2}{1+\sqrt{t}}$+1＜2-$\frac{2}{1+\sqrt{t}}$＜2；
∴f（t）＜2；
综上，y≤2，即y的最大值是2．
故答案为：2．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．