题目内容
设
=(6cosx，-
)，
=(cosx，sin2x)，f(x)=
•
（1）求f（x）的最小正周期、最大值及f（x）取最大值时x的集合；
（2）若锐角α满足f(α)=3-2
，求tan
α的值．
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
（1）求f（x）的最小正周期、最大值及f（x）取最大值时x的集合；
（2）若锐角α满足f(α)=3-2
| 3 |
| 4 |
| 5 |
分析：（1）由数量积的定义和三角函数的化简方法可得f（x）=2
cos(2x+
)+3，由三角函数的知识可得所求；（2）由f(α)=3-2
得cos(2α+
)=-1，结合范围可得α=
π，代入可得所求．
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 5 |
| 12 |
解答：解：（1）由题意可得f(x)=
•
=6cos2x-
sin2x…（1分）
=6×
-
sin2x=3cos2x-
sin2x+3
=2
(
cos2x-
sin2x)+3…（3分）
=2
cos(2x+
)+3…（4分）
故最小正周期T=
=π…（5分）
当2x+
=2kπ，k∈Z，即x=kπ-
，k∈Z时，f（x）有最大值2
+3，
此时，所求x的集合为{x|x=kπ-
，k∈Z}．…（7分）
（2）由f(α)=3-2
得 2
cos(2α+
)+3=3-2
，故cos(2α+
)=-1…（9分）
又由0＜α＜
得
＜2α+
＜π+
，故2α+
=π，解得α=
π．…（11分）
从而tan
α=tan
=
． …（12分）
| a |
| b |
| 3 |
=6×
| 1+cos2x |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
=2
| 3 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=2
| 3 |
| π |
| 6 |
故最小正周期T=
| 2π |
| 2 |
当2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 12 |
| 3 |
此时，所求x的集合为{x|x=kπ-
| π |
| 12 |
（2）由f(α)=3-2
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| π |
| 6 |
又由0＜α＜
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5 |
| 12 |
从而tan
| 4 |
| 5 |
| π |
| 3 |
| 3 |
点评：本题考查平面向量数量积的运算，涉及三角函数的运算，属中档题．
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