题目内容

设向量
a
=（6cosx，-
3
），
b
=（cosx，sin2x），x∈[0，
π
2
]
（1）若|
a
|=2
3
，求x的值；
（2）设函数f（x）=
a
•
b
，求f（x）的最大、最小值．
分析：（1）由于向量
a
=（6cosx，-
3
），|
a
|=2
3
，利用向量的模的计算公式可得
36cos2x+(-
3
)2
=2
3
，化简并利用x∈[0，
π
2
]，即可解得x．
（2）利用数量积、倍角公式和两角和差的正弦公式可得：函数f（x）=
a
•
b
=6cos2x-
3
sin2x=-2
3
sin(2x+
π
3
)+3．由于x∈[0，
π
2
]，可得(2x+
π
3
)∈[
π
3
，
4π
3
]，可得sin(2x+
π
3
)∈[-
3
2
，1]，进而得出函数f（x）的最小值、最大值．
解答：解：（1）∵向量
a
=（6cosx，-
3
），|
a
|=2
3
，
∴
36cos2x+(-
3
)2
=2
3
，
化为cos2x=
1
4
，∴cosx=±
1
2
．
∵x∈[0，
π
2
]，
∴cosx=
1
2
，解得x=
π
3
．
（2）函数f（x）=
a
•
b
=6cos2x-
3
sin2x
=3(1+cos2x)-
3
sin2x
=-2
3
(
1
2
sin2x-
3
2
cos2x)+3
=-2
3
sin(2x+
π
3
)+3．
∵x∈[0，
π
2
]，
∴(2x+
π
3
)∈[
π
3
，
4π
3
]，
∴sin(2x+
π
3
)∈[-
3
2
，1]，
∴-2
3
sin(2x+
π
3
)∈[-2
3
，3]．
∴函数f（x）的最小值、最大值分别为3-2
3
，6．
点评：本题考查了向量的模的计算公式、数量积运算法则、倍角公式和两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设向量
a
和
b
的长度分别为4和3，夹角为60°，则|
a
+
b
|的值为（　　）
设向量
a
=(cos2θ，1)，
b
=(1，1)，
c
=(2sinθ，1)，
d
=(-sinθ，1)，其中θ∈(0，
π
4
)．
（1）求
a
•
b
+
c
•
d
的取值范围；
（2）若函数f（x）=|x|，比较f(
a
•
b
)与f(1-
c
•
d
)的大小．
设向量a=(sinα，
3
2
)，b=(cosα，
1
2
)，且
a
∥
b
，则
a
的一个值为（　　）
A、
π
6
B、
π
4
C、
π
3
D、
5π
12
（2012•佛山二模）设向量
a
、
b
满足：|
a
|=1，|
b
|=2，
a
•（
a
-
b
）=0，则
a
与
b
的夹角是（　　）

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