Question

如图，F₁，F₂分别是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F₁B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF₂|=|F₁F₂|，则C的离心率是

6

2

．

Answer 1

分析：依题意可求得直线F₁B的方程，与双曲线C的方程联立，利用韦达定理可求得PQ的中点坐标，从而可得线段PQ的垂直平分线的方程，继而可求得M点的坐标，从而可求得C的离心率．

解答：解：依题意F₁（-c，0），B（0，b），
∴直线F₁B的方程为：y-b=

b

c

x，与双曲线C的方程联立

y= b c x+b x2 a2 - y2 b2 =0

得：b²x²-a²(

b

c

x+b)2=0，
整理得：

b4

c2

x²-

2b2a2

c

x-a²b²=0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x₁，x₂为上面方程的两根，由韦达定理得：x₁+x₂=

2a2c

b2

，y₁+y₂=

b

c

（x₁+x₂）+2b=

2c2

b

，
∴PQ的中点N（

a2c

b2

，

c2

b

），又直线MN的斜率k=-

c

b

（与直线F₁B垂直），
∴直线MN的方程为：y-

c2

b

=-

c

b

（x-

a2c

b2

），令y=0得M点的横坐标x=c+

a2c

b2

=

c3

b2

．
∵|MF₂|=|F₁F₂|，
∴

c3

b2

-c=2c．
∴c²=3b²=3（c²-a²），
∴c²=

3

2

a²，
∴e=

c

a

=

6

2

．
故答案为：

6

2

．

点评：本题考查直线与双曲线相交，考查韦达定理的应用，考查综合分析与计算能力，属于难题．