Question

已知函数f（x）=x³-3ax²-9a²x+a³。
（1）设a=1，求函数f（x）的极值；
（2）若a>，且当x∈[1，4a]时，|f′（x）|≤12a恒成立，试确定a的取值范围。

Answer 1

解：（1）当a=1时，对函数f（x）求导数，得f′（x）=3x²-6x-9
令f′（x）=0，解得x₁=-1，x₂=3
列表讨论f（x），f′（x）的变化情况：
 
所以，f（x）的极大值是f（-1）=6，极小值是f（3）=-26。
（2）f′（x）=3x²-6ax-9a²的图象是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称
若＜a≤1，则f′（x）在[1，4a]上是增函数，
从而f′（x）在[1，4a]上的最小值是f′（1）=3-6a-9a²，
最大值是f′（4a）=15a²
由|f′（x）|≤12a，得-12a≤3x²-6ax-9a²≤12a，
于是有f′（1）=3-6a-9a²≥-12a，且f′（4a）=15a²≤12a
由f′（1）≥-12a，得-≤a≤1，
由f′（4a）≤12a，得0≤a≤。
所以a∈
即a∈
若a>1，则|f′（a）|=12a²>12a
故当x∈[1，4a]时|f′（x）|≤12a不恒成立
所以使|f′（x）|≤12a（x∈[1，4a]）恒成立的a的取值范围是。