Question

已知函数。

（1）若，求a的值；

（2）若a>1，求函数f(x)的单调区间与极值点；

（3）设函数是偶函数，若过点A（1，m）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的范围。

 

Answer 1

【答案】

(1) ；（2）单调递增区间为和，单调递减区间为，极小值点为，极大值点为。（3）。

【解析】

试题分析：（1）,∵,  .3分

（2）得，

∵a>1，∴-1>1-2a,

,函数的单调递增区间为和

，函数的单调递减区间为  .4分

函数的极小值点为，极大值点为  5分

(3)当为偶函数，则a=0，

函数，  .7分

函数在的切线方程为，

且经过点A（1，m）的直线有三条，即关于的方程有三个解，即关于的方程有三个解，即y=m与有三个交点，考虑令，则，

解得，

∴在区间（0，1）上单调递增，在和单调递减  .12分

∵y=m与有三个交点，即h(0) <m<h(1)，∴

故m的取值范围为   .10分

考点：导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的奇偶性。

点评：我们要注意在某点处的切线方程和过某点的切线方程的区别，在“某点处的切线方程”这点就是切点，而“过某点的切线方程”这一点不一定是切点。求曲线的切线方程，我们一般把切点设出。