已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$.四个顶点构成的菱形的面积是4.圆M:(x+1)2+y2=r2．过椭圆C的上顶点A作圆M的两条切线分别与椭圆C相交于B.D两点.直线AB.AD的斜率分别为k1.k2．(1)求椭圆C的方程,(2)当r变化时.①求k1•k2的值,②试� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆M：（x+1）²+y²=r²（0＜r＜1）．过椭圆C的上顶点A作圆M的两条切线分别与椭圆C相交于B，D两点（不同于点A），直线AB，AD的斜率分别为k₁，k₂．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当r变化时，①求k₁•k₂的值；②试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．

分析（1）利用已知条件求出a，b即可求解椭圆C的方程．
（2）AB：y=k₁x+1，则有$\frac{{|{{k_1}-1}|}}{{\sqrt{1+k_1^2}}}=r$，化简得$（{1-{r^2}}）k_1^2-2{k_1}+1-{r^2}=0$，直线AD：y=k₂x+1，同理有$（{1-{r^2}}）k_2^2-2{k_2}+1-{r^2}=0$，推出k₁，k₂是方程（1-r²）k²-2k+1-r²=0的两实根，故k₁•k₂=1．考虑到r→1时，D是椭圆的下顶点，B趋近于椭圆的上顶点，故BD若过定点，则猜想定点在y轴上．联立直线与椭圆方程，求出相关点的坐标，求出直线BD的方程，推出直线BD过定点．

解答解：（1）由题设知，$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{1}{2}×2a×2b=4$，又a²-b²=c²，
解得a=2，b=1．
故所求椭圆C的方程是$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）AB：y=k₁x+1，则有$\frac{{|{{k_1}-1}|}}{{\sqrt{1+k_1^2}}}=r$，化简得$（{1-{r^2}}）k_1^2-2{k_1}+1-{r^2}=0$，
对于直线AD：y=k₂x+1，同理有$（{1-{r^2}}）k_2^2-2{k_2}+1-{r^2}=0$，
于是k₁，k₂是方程（1-r²）k²-2k+1-r²=0的两实根，故k₁•k₂=1．
考虑到r→1时，D是椭圆的下顶点，B趋近于椭圆的上顶点，故BD若过定点，则猜想定点在y轴上．
由$\left\{{\begin{array}{l}{y={k_1}x+1}\\{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，得$（{4k_1^2+1}）{x^2}+8{k_1}x=0$，于是有$B（{\frac{{-8{k_1}}}{4k_1^2+1}，\frac{-4k_1^2+1}{4k_1^2+1}}），D（{\frac{{-8{k_2}}}{4k_2^2+1}，\frac{-4k_2^2+1}{4k_2^2+1}}）$．
直线BD的斜率为${k_{BD}}=\frac{{{k_1}+{k_2}}}{-3}$，
直线BD的方程为$y-\frac{-4k_1^2+1}{4k_1^2+1}=\frac{{{k_1}+{k_2}}}{-3}（{x-\frac{{-8{k_1}}}{4k_1^2+1}}）$，
令x=0，得$y=\frac{-4k_1^2+1}{4k_1^2+1}+\frac{{{k_1}+{k_2}}}{-3}•\frac{{8{k_1}}}{4k_1^2+1}=\frac{20k_1^2+5}{{-3（{4k_1^2+1}）}}=-\frac{5}{3}$，
故直线BD过定点$（{0，-\frac{5}{3}}）$．