题目内容
【题目】如图，正四棱柱
的底面边长为
，侧棱长为1，求：
（1）直线
与直线
所成角的余弦值；
（2）平面
与平面
所成二面角的正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）以 {
，
，
} 为正交基底建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出直线A1C与直线AD1所成角的余弦值；
（2）求出平面D1AC的一个法向量和平面ABB1A1的一个法向量，利用向量法能求出平面D1AC与平面ABB1A1所成二面角的正弦值．
(1)如图，正四棱柱
的底面边长为
，侧棱长为1，
故以 
为正交基底建立空间直角坐标系
．
则
，
，
，
， 
．
（1）因为 
，
，
所以
，
，
，
从而
．
又异面直线所成的角的范围是
，
所以直线
与直线
所成角的余弦值为．
（2）
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
从而
即
取
，可得
，
，即
．
在正四棱柱中，
平面
，
又
，
所以
为平面的一个法向量．
因为
，且
，
，
所以
．
因此平面与平面所成二面角的正弦值为．
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