Question

某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻,导致浓硫酸泄漏,对河水造成了污染.为减少对环境的影响，环保部门迅速反应,及时向污染河道投入固体碱，个单位的固体碱在水中逐渐溶化,水中的碱浓度与时间(小时)的关系可近似地表示为：,只有当污染河道水中碱的浓度不低于时,才能对污染产生有效的抑制作用.
(Ⅰ) 如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效的抑制作用的时间有多长？
(Ⅱ) 第一次投放1单位固体碱后,当污染河道水中的碱浓度减少到时,马上再投放1个单位的固体碱,设第二次投放后水中碱浓度为,求的函数式及水中碱浓度的最大值.（此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加）

Answer 1

（1）3     (2)

试题分析：(Ⅰ) 由题意知或       2分
解得或，即           3分
能够维持有效的抑制作用的时间：小时.        4分
(Ⅱ) 由⑴知，时第二次投入1单位固体碱，显然的定义域为…5分
当时，第一次投放1单位固体碱还有残留,故
=+=;          6分
当时，第一次投放1单位固体碱已无残留,故
当时，  =;     7分
当时，  ;            8分
所以            9分
当时，
==;
当且仅当时取“=”,即（函数值与自变量值各1分）…10分
当时，第一次投放1单位固体碱已无残留，
当时， ，所以为增函数;
当时，为减函数;故 =，     ……11分
又,所以当时，水中碱浓度的最大值为.                    ……12分
答：第一次投放1单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为3小时；第一次投放小时后, 水中碱浓度的达到最大值为.             ……13分
点评：主要是考查了函数的解析式以及性质的运用，属中档题。