题目内容

已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

(Ⅰ)求C1、C2的标准方程；

(Ⅱ)请问是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交不同两点M、N且满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)设抛物线，则有，据此验证个点知(3，)、(4，4)在抛物线上，易求　　2分

　　设：，把点(2，0)(，)代入得：

　　　解得

　　∴方程为　　6分

　　(Ⅱ)法一：

　　假设存在这样的直线过抛物线焦点，设直线的方程为两交点坐标为，

　　由消去，得　　8分

　　∴　　①

　　

　　　　②　　11分

　　由，即，得

　　将①②代入(*)式，得，解得　　13分

　　所以假设成立，即存在直线满足条件，且的方程为：或　　14分

　　法二：容易验证直线的斜率不存在时，不满足题意　　6分

　　当直线斜率存在时，假设存在直线过抛物线焦点，设其方程为，与的交点坐标为

　　由消掉，得　　10分

　　于是，　　①

　　

　　即　　②　　12分

　　由，即，得

　　将①、②代入(*)式，得，解得　　13分

　　所以存在直线满足条件，且的方程为：或　　14分


练习册系列答案
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已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F（1，0），C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线l与抛物线C2分别相交于A，B两点．
（Ⅰ）写出抛物线C2的标准方程；
（Ⅱ）若
AM
=
1
2
MB
，求直线l的方程；
（Ⅲ）若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值．
已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
   C1  C2
 x  2  
2
  4  3
 y  0  
2
2
  4 -2
3
则C1、C2的标准方程分别为
 
、
 
．
（2013•江门二模）已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F（1，0），C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，直线l过点M（4，0）．
（1）写出抛物线C2的标准方程；
（2）若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1C的长轴长的最小值．
（2011•中山市三模）已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
x 1 -
5
 2
2
y -2
2
 0 -4
15
5
（Ⅰ）求C1、C2的标准方程；
（Ⅱ）过点曲线的C2的焦点B的直线l与曲线C1交于M、N两点，与y轴交于E点，若
EM
=λ1
MB
，
EN
=λ2
NB
，求证：λ1+λ2为定值．
已知椭圆C1，抛物线C2的焦点均在y轴上，C1的中心和C2 的顶点均为坐标原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
x 0 -1
2
 4
y -2
2
1
16
 -2 1
（Ⅰ）求分别适合C1，C2的方程的点的坐标；
（Ⅱ）求C1，C2的标准方程．

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