Question

设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x，y，总有f(x+y)=f(x)f(y)，且当x＞0时,0＜f(x)＜1.

(Ⅰ)求f(0)的值；

(Ⅱ)确定f(x)的单调区间；

(Ⅲ)若M={y|f(y)·f(1-a)≥f(1)}，N={y|f(ax²+x+1-y)=1，x∈R}，且M∩N≠，求a的取值范围.·

Answer 1

答案：(I)显然,f(x)不恒等于0,令x=1,y=0时,得f(0)=1；

(II)令y=-x>0则1=f(x-x))=f(x)·f(-x),

即f(x)=

由题01；设x₁2,

则x₂-x₁>0,由于f(x)>0,f(x₂-x₁)<1.

∴f(x₂-f(x₁)=f[(x₂-x₁+x₁)]-f(x₁)=f(x₂-x₁)·f(x₁)-f(x₁)=f(x₁)[f(x₂-x₁)-1]<0

∴f(x₂)1).∴f(x)在R上单调递减；

(ш)由已知得：M={y|y≤a},N={y|y=ax²+x+1,x∈R},

当a≤0时,显然M∩N≠(10分)

当a>0时,N=|y|y=a(x+)²+l-,x∈R},

要使M∩N≠必须1-≤a.即4a²-4a+1≥0a∈R,

故所求的a的取值范围是a∈R.