题目内容

已知复数z₁满足（1-i）z₁=1+3i，z₂=a-i（a∈R），其中i为虚数单位．
（1）求z₁
（2）若z₁是关于x的实系数方程x²-px+q=0的一个根，求实数p、q的值．
（3）若 $数学公式$ ，求实数a的取值范围．

解：（1）因为复数z₁满足（1-i）z₁=1+3i，
所以 $\text{[math]}$ …（3分）
（2））z₁是关于x的实系数方程x²-px+q=0的一个根，实系数方程虚根成对，
由韦达定理可知p=-1+2i+（-1-2i）=-2，q=（-1+2i）（-1-2i）=1+4=5，
所以p=-2，q=5…（6分）
（3） $\text{[math]}$ …（8分）
由 $\text{[math]}$ ，∴（-1-a）²+1＞10…（10分）
∴a＜-4，或a＞2故实数a的取值范围是（-∞，-4）∪（2，+∞）．…（12分）
分析：（1）化简复数为分式的形式，利用复数同乘分母的共轭复数，化简为a+bi的形式即可得到z₁．
（2）若z₁是关于x的实系数方程x²-px+q=0的一个根，求出另一个根，利用韦达定理即可求实数p、q的值．
（3）求出 $\text{[math]}$ 的模，利用 $\text{[math]}$ ，得到a的关系式，即可求实数a的取值范围．
点评：本题是中档题，考查复数的基本运算，复数模的求法，复数方程的应用，考查计算能力．