题目内容
【题目】已知函数
（1）若函数
在区间
上是减函数，求实数
的取值范围；
（2）当
时，函数
图象上的点都在
所表示的平面区域内，求实数的取值范围。
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）函数f（x）在区间[2，4]上单调递减等价于其导数
在区间[2，4]上恒成立，只需求
在[2，4]上的最小值即可；
（2）题意可化为当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即a（x﹣1）2+lnx﹣x+1≤0恒成立，设g（x）＝a（x﹣1）2+lnx﹣x+1（x≥1），只需g（x）max≤0即可，下面用导数求解g（x）的最大值．
解：（1）
因为函数
在区间
上单调递减
在区间上恒成立，
即
在上恒成立
只需
不大于在上的最小值即可
当
时，
即
，故实数
的取值范围是
（2）因为图象上的点都在
所表示的平面区域内
即当
时，不等式
恒成立
即
恒成立
设
只需
既可
由
⑴当
时，
，当
时，
函数
在
上单调递减，故
成立
⑵当
时，由
令
得
①若
，即
时，在区间
上
在上单调递增，函数在上无最大值，不满足条件
②若
，
时
函数在
上单调递减，在区间
上单调递增，
同样在上无最大值，不满足条件
⑶当
时，
因为，故
则函数在上单调递减，
故
成立
综上所述，实数的范围是
【题目】为了解人们对城市治安状况的满意度，某部门对城市部分居民的“安全感”进行调查，在调查过程中让每个居民客观地对自己目前生活城市的安全感进行评分，并把所得分作为“安全感指数”，即用区间[0，100]内的一个数来表示，该数越接近100表示安全感越高．现随机对该地区的男、女居民各500人进行了调查，调查数据如表所示：
安全感指数 | [0，20） | [20，40） | [40，60） | [60，80） | [80，100] |
男居民人数 | 8 | 16 | 226 | 131 | 119 |
女居民人数 | 12 | 14 | 174 | 122 | 178 |
根据表格，解答下面的问题：
（Ⅰ）估算该地区居民安全感指数的平均值；
（Ⅱ）如果居民安全感指数不小于60，则认为其安全感好．为了进一步了解居民的安全感，调查组又在该地区随机抽取3对夫妻进行调查，用X表示他们之中安全感好的夫妻（夫妻二人都感到安全）的对数，求X的分布列及期望（以样本的频率作为总体的概率）．
