Question

设△A_nB_nC_n的三边长分别为a_n，b_n，c_n，△A_nB_nC_n的面积为S_n，n=1，2，3…若b₁＞c₁，b₁+c₁=2a₁，a_n+1=a_n，bn+1=

cn+an

2

，cn+1=

bn+an

2

，则（　　）

A．{S_n}为递减数列

B．{S_n}为递增数列

C．{S_2n-1}为递增数列，{S_2n}为递减数列

D．{S_2n-1}为递减数列，{S_2n}为递增数列

Answer 1

分析：由a_n+1=a_n可知△A_nB_nC_n的边B_nC_n为定值a₁，由b_n+1+c_n+1-2a₁=

1

2

(bn+cn-2a1)及b₁+c₁=2a₁得b_n+c_n=2a₁，则在△A_nB_nC_n中边长B_nC_n=a₁为定值，另两边A_nC_n、A_nB_n的长度之和b_n+c_n=2a₁为定值，
由此可知顶点A_n在以B_n、C_n为焦点的椭圆上，根据b_n+1-c_n+1=-

1

2

(bn-cn)，得b_n-c_n=(-

1

2

)n-1(b1-c1)，可知n→+∞时b_n→c_n，据此可判断△A_nB_nC_n的边B_nC_n的高h_n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．

解答：解：因为a_n+1=a_n，bn+1=

cn+an

2

，cn+1=

bn+an

2

，所以a_n=a₁，
所以b_n+1+c_n+1=a_n+

bn+cn

2

=a₁+

bn+cn

2

，
所以b_n+1+c_n+1-2a₁=

1

2

(bn+cn-2a1)，
又b₁+c₁=2a₁，所以b_n+c_n=2a₁，
于是，在△A_nB_nC_n中，边长B_nC_n=a₁为定值，另两边A_nC_n、A_nB_n的长度之和b_n+c_n=2a₁为定值，
因为b_n+1-c_n+1=

cn+an

2

-

bn+an

2

=-

1

2

(bn-cn)，
所以b_n-c_n=(-

1

2

)n-1(b1-c1)，
当n→+∞时，有b_n-c_n→0，即b_n→c_n，
于是△A_nB_nC_n的边B_nC_n的高h_n随着n的增大而增大，
所以其面积Sn=

1

2

|BnCn|•hn=

1

2

a1hn为递增数列，
故选B．

点评：本题考查数列、解三角形、椭圆等知识，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，是本年度全国高考试题中的“亮点”之一．