Question

【题目】在直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，若圆的一条切线（斜率存在）与椭圆C有两个交点A，B，且.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求圆O的标准方程；

（3）已知椭圆C的上顶点为M，点N在圆O上，直线MN与椭圆C相交于另一点Q，且，求直线MN的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根据离心率得到，代入点得到，计算得到答案.

（2）设切线方程为，，，联立方程得到，，根据得到，计算圆心到直线的距离得到答案.

（3），设，，根据得到，代入椭圆得到，得到直线方程.

（1）椭圆的离心率为，点在椭圆上，

故，，解得，，即.

（2）设切线方程为，，，

则，化简得到，

故，，

，

代入化简得到：，验证满足.

故，故圆方程为.

（3），设，，

，即，

故，

代入椭圆方程：，化简，

故，即，故.