题目内容

已知a,b,c为△ABC的三边,求证:a2+b2+c2＜2(ab+bc+ca).

证法一:由余弦定理得

a2+b2+c2=(b2+c2-2bccosA)+(c2+a2-2accosB)+(a2+b2-2abcosC),

∴a2+b2+c2=2bccosA+2accosB+2abcosC.

∵cosA＜1,cosB＜1,cosC＜1,

∴a2+b2+c2＜2(ab+bc+ca).

证法二:∵|a-c|＜b,|b-c|＜a,|a-b|＜c,

∴(a-c)2＜b2,(b-c)2＜a2,(a-b)2＜c2.

上述三式相加即得证.

练习册系列答案
相关题目
本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，请考生任选2题作答．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知a，b∈R，若M=
-1a
b3
所对应的变换TM把直线L：2x-y=3变换为自身，求实数a，b，并求M的逆矩阵．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程：
x=t
y=1+2t
（t为参数）和圆C的极坐标方程：ρ=2
2
sin(θ+
π
4
)．
①将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
②判断直线l和圆C的位置关系．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-1|+|x-2|．若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）（a≠0，a，b∈R）恒成立，求实数x的范围．
已知
a
=（1+cosα，sinα），
b
=（1-cosβ，sinβ），
c
=(1，0)，α∈（0，π），β∈（π，2π），向量
a
与
c
夹角为θ1，向量
b
与
c
夹角为θ2，且θ1-θ2=
π
6
，若△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c，且角A=β-α．
求（Ⅰ）求角A 的大小； 
（Ⅱ）若△ABC的外接圆半径为4
3
，试求b+c取值范围．
已知a,b,c为某一直角三角形的三边长，c为斜边，若点(m,n)在直线ax+by+2c=0上，则m2+n2的最小值为__________.

已知a,b,c为某一直角三角形的三边长，c为斜边，若点(m,n)在直线ax+by+2c=0上，则m2+n2的最小值为__________.

（08年福州质检二）已知a,b,c为三条不同的直线，且a平面M，b平面N，M∩N =c ．①若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；②若a//b，则必有a//c；③若a⊥b，a⊥c则必有M⊥N以上的命题中正确的是（   ）

    A．①             B．②             C．③             D．②③

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