Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n,首项为a₁,且,a_n,S_n成等差数列.
(1)求数列{a_n}的通项公式;
(2)若=,设c_n=,求数列{c_n}的前n项和T_n.

Answer 1

(1) a_n=2^n-2      (2) T_n=

解:(1)由题意知2a_n=S_n+,a_n>0,
当n=1时,2a₁=a₁+,∴a₁=.
当n≥2时,S_n=2a_n-,
S_n-1=2a_n-1-,
两式相减得a_n=2a_n-2a_n-1,
整理得=2,
∴数列{a_n}是以为首项,2为公比的等比数列.
a_n=a₁·2^n-1=×2^n-1=2^n-2.
(2)==2^2n-4,
∴b_n=4-2n,
∴c_n==,
即c_n=.
则T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n,
即T_n=+++…+.
∴T_n=+++…+,
则T_n=4+++…+-.
T_n=8-(++…+)+
=8-+
=8-8(1-)+
=+
=+=.
即T_n=.