Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，BC=4，AA₁=4，点D是AB的中点，
（1）求证：AC⊥BC₁；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁．
（3）求二面角C₁-AB-C的正切值．

Answer 1

分析：（1）欲证AC⊥BC₁，而BC₁?平面BCC₁B₁，可先证AC⊥平面BCC₁B₁，而AC⊥BC，AC⊥CC₁，且BC∩CC₁=C，满足定理所需条件；
（2）欲证AC₁∥平面CDB₁，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AC₁与平面CDB₁内一直线平行，设CB₁与C₁B的交点为E，连接DE，根据中位线定理可知DE∥AC₁，DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，满足定理条件；
（3）过点C作CF⊥AB于F，连接C₁F，根据二面角平面角的定义可知∠C₁FC为二面角C₁-AB-C的平面角，在直角三角形C₁FC中求出此角的正切值即可．

解答：证明：（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
∵底面三边长AC=3，AB=5，BC=4，
∴AC⊥BC，（1分）
又直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中AC⊥CC₁，
且BC∩CC₁=C
BC∩CC₁?平面BCC₁B₁
∴AC⊥平面BCC₁B₁
而BC₁?平面BCC₁B₁
∴AC⊥BC₁；
（2）设CB₁与C₁B的交点为E，连接DE，（5分）
∵D是AB的中点，E是BC₁的中点，
∴DE∥AC₁，（7分）
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．（8分）
（3）解：过点C作CF⊥AB于F，连接C₁F（9分）
由已知C₁C垂直平面ABC，则∠C₁FC为二面角C₁-AB-C的平面角（11分）
在Rt△ABC中，AC=3，AB=5，BC=4，则CF=

12

5

（12分）
又CC₁=AA₁=4
∴tan∠C₁FC=

5

3

（13分）
∴二面角C₁-AB-C的正切值为

5

3

（14分）

点评：本题主要考查了线面垂直的性质，以及线面平行的判定和二面角的度量，同时考查了转化与划归的思想，属于中档题．