Question

△ABC的三内角A，B，C对应三边a，b，c成等差数列，且

m

=(sinx，2sinx+3cosx)，

n

=(sinx，cosx)，函数f(x)=

m

•

n

-1(x∈R)
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）求f(

B

2

-

π

8

)的值域．

Answer 1

分析：（1）根据平面向量的数量积的运算法则，由且

m

=(sinx，2sinx+3cosx)，

n

=(sinx，cosx)，得到

m

•

n

，进而得到f（x）的解析式，把f（x）利用二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系及两角和的正弦函数公式和特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据周期的公式T=

2π

λ

及正弦函数的单调递增区间[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，即可得到f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）由三角形的三边a，b，c成等差数列，根据等差数列的性质得到2b=a+c，表示出b，然后余弦定理表示出cosB，把表示出的b代入化简后得到cosB的值大于等于

1

2

，由B为三角形中的角，得到B的取值范围，把x=

B

2

-

π

8

代入f（x）中化简后，由B的范围得到正弦函数相应的值域，进而得到f（x）的值域．

解答：解：（1）f（x）=sin²x+cosx（2sinx+3cosx）-1
=sin2x+cos2x+1=

2

sin(2x+

π

4

)+1(x∈R)，（3分）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)得：kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

(k∈Z)
∴函数的最小正周期：T=π，单调递增区间是：[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

](k∈Z)（6分）
（2）由a，b，c成等差数列，得：2b=a+c，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( a+c 2 )2

2ac

=

3a2+3c2-2ac

8ac

=

1

8

(3

a

c

+3

c

a

-2)≥

1

2

，
∴B∈(0，

π

3

]，（10分）
∴f(

B

2

-

π

8

)=

2

sinB+1(x∈R)的值域为(1，

6

2

+1]．（12分）

点评：此题考查学生灵活运用二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系及两角和的正弦函数公式和特殊角的三角函数值化简求值，掌握正弦函数的周期及单调性，是一道中档题．