Question

已知函数f（x）=cos（2x+

π

3

）+sin²x
（1）求函数f（x）的单调递减区间及最小正周期；
（2）设锐角△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c=

6

，cosB=

1

3

，f（

C

2

）=-

1

4

，求b．

Answer 1

分析：（1）f（x）解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后得到结果，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期；
（2）由f（

C

2

）=-

1

4

，求出sinC的值，根据cosB的值求出sinB的值，再由c的值，利用正弦定理即可求b的值．

解答：解：（1）f（x）=cos（2x+

π

3

）+sin²x
=cos2xcos

π

3

-sin2xsin

π

3

+

1-cos2x

2

=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+

1

2

-

1

2

cos2x
=-

3

2

sin2x+

1

2

，
∵ω=2，
∴最小正周期T=

2π

2

=π，
令2kπ-

π

2

≤2x≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
得kπ-

π

4

≤x≤kπ+

π

4

，k∈Z，
则f（x）的单调递减区间是[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]（k∈Z）；
（2）由（1）f（x）=-

3

2

sin2x+

1

2

得：f（

C

2

）=-

3

2

sinC+

1

2

=-

1

4

，
∴sinC=

3

2

，
又cosB=

1

3

，
∴sinB=

1-cos2B

=

2 2

3

，
∴由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

，得b=

c•sinB

sinC

=

6 × 2 2 3

3 2

=

8

3

．

点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的单调性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．