题目内容

在△ABC中，内角A，B，C对边分别是a，b，c，已知c=1．
（1）若C= $数学公式$ ，cos（θ+C）= $数学公式$ ，0＜θ＜π，求cosθ；
（2）若C= $数学公式$ ，sinC+sin（A-B）=3sin2B，求△ABC的面积．

解：（1）∵C= $\text{[math]}$ ，cos（θ+C）= $\text{[math]}$ ，0＜θ＜π，
∴sin（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴cosθ=cos[（ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ]=cos（ $\text{[math]}$ ）cos $\text{[math]}$ +sin（ $\text{[math]}$ ）sin $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
（2）∵sinC+sin（A-B）=3sin2B，
∴sin（A+B）+sin（A-B）=6sinBcosB，
∴2sinAcosB=6sinBcosB，
∴cosB=0或sinA=3sinB，
∴B= $\text{[math]}$ 或a=3b，
若B= $\text{[math]}$ ，C= $\text{[math]}$ ，则S= $\text{[math]}$ c•c•tanA= $\text{[math]}$ ；
若a=3b，C= $\text{[math]}$ ，则由余弦定理得a²+b²-ab=1
∴ $\text{[math]}$ ，
∴S= $\text{[math]}$ absinC= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先计算sin（ $\text{[math]}$ ），根据cosθ=cos[（ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ]，利用差角的余弦公式，即可求cosθ；
（2）根据sinC+sin（A-B）=3sin2B，可得B= $\text{[math]}$ 或a=3b，再分类讨论，即可求△ABC的面积．
点评：本题考查三角恒等变换，考查三角函数的化简，考查三角形面积的计算，属于中档题．