Question

已知函数f（x）=x|x-a|-2，a∈R
（1）当a=3时，解不等式f（x）＜|x-2|；
（2）当x∈（0，2]时，不等式f(x)＜1-

1

2

x2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）a=3时，f（x）＜|x-2|?x|x-3|-2＜|x-2|下面对x的取值进行分类讨论，转化为整式不等式，即可求得原不等式的解集；
（2）由于f(x)＜1-

1

2

x2?

3

2

x-

3

x

＜a＜

3

x

+

1

2

x，在x∈（0，2]恒成立，令g(x)=

3

2

x-

3

x

，h(x)=

3

x

+

1

2

x，x∈（0，2]则只需g（x）_max＜a＜h（x）_min接下来利用研究函数g（x）的单调性即可求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）a=3时，f（x）＜|x-2|?x|x-3|-2＜|x-2|等价于

x＜2 x (3-x)-2＜2-x

或

2≤x＜3 x (3-x)-2＜x-2

或

x≥3 x (x-3)-2＜x-2

（3分）
解得x＜2或2＜x＜3或3≤x＜4
即原不等式的解集为{x|x＜2或2＜x＜4}（6分）
（2）f(x)＜1-

1

2

x2?x|x-a| ＜3-

1

2

x2?|a-x| ＜

3

x

-

1

2

x（7分）?

1

2

x-

3

x

＜a-x＜

3

x

-

1

2

x?

3

2

x-

3

x

＜a＜

3

x

+

1

2

x，在x∈（0，2]恒成立 （9分）
令g(x)=

3

2

x-

3

x

，h(x)=

3

x

+

1

2

x，x∈（0，2]
则只需g（x）_max＜a＜h（x）_min
∵g(x)=

3

2

x-

3

x

在（0，2]上单调递增
∴g(x)max=g(2)=

3

2

（10分）
又h(x)=

3

x

+

1

2

x在（0，2]上是减函数
∴h(x)min=h(2)=

5

2

（11分）
∴实数a的取值范围是（

3

2

，  

5

2

）（12分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数恒成立问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．