Question

（本小题12分）已知抛物线C：过点A

（1）求抛物线C 的方程；

（2）直线过定点，斜率为，当取何值时，直线与抛物线C只有一个公共点。

 

Answer 1

【答案】

（I）；（2）当时，直线与抛物线C只有一个公共点。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题意设抛物线的方程为y²=2px，把A点坐标（1，-2）代入方程得P的值，由此能求出抛物线的标准方程．

（Ⅱ）由题意，直线l的方程为y=kx+2k+1，由方程组y²=4x和y=kx+2k+1联立，得ky²-4y+4（2k+1）=0，对于参数k进行分类讨论，这时直线l抛物线有一个公共点．

解：（I）将（1，-2）代入，得，

所以p=2；故所求的抛物线C的方程为

（2）由得：，

①当时，代入得，

这时直线与抛物线C相交，只有一个公共点

②当时，，时

直线与抛物线C相切，只有一个公共点

综上，当时，直线与抛物线C只有一个公共点。

考点：本试题主要考查了抛物线方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的综合运用。

点评：解决该试题的关键是利用点求解解析式，同时能结合二次方程研究方程根的问题。