题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ ，对于下列三个命题：①f（x）是偶函数；②f（x）＜1；③当x= $数学公式$ 时，f（x）取得极小值．其中真命题的序号为

A.
①②
B.
①③
C.
②③
D.
①②③

A
分析：对于①，考察证明f（-x）与f（x）的关系得证；对于②针对函数f（x）= $\text{[math]}$ 的性质，只须考虑当0＜x＜ $\text{[math]}$ 时的函数值即可，再利用单位圆中的三角函数线，通过面积关系证明sinx＜x．对于③，利用商的导数运算法则及基本初等函数的导数公式，求出函数的导数，然后根据导函数的符号确定函数的单调性即可得到结论．
解答：函数f（x）= $\text{[math]}$ 的定义域为x≠0，
当x≠0时，f（-x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =f（x），
∴f（x）是偶函数；①正确；
对于②，针对函数f（x）= $\text{[math]}$ 的性质，只须考虑当0＜x＜ $\text{[math]}$ 时的函数值即可，

如图，在单位圆中，有sinx=MA，
连接AN，则S_△OAN＜S_扇形OAN，
设 $\text{[math]}$ 的长为l，则x= $\text{[math]}$ =l，
∴ $\text{[math]}$ ON•MA＜ $\text{[math]}$ ON•x，即MA＜x，
又sinx=MA，
∴sinx＜x，∴f（x）= $\text{[math]}$ ＜1，
而由该函数是偶函数，可知②正确；
f′（x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
令 $\text{[math]}$ =0得xcosx-sinx=0，
即tanx=x，但当x= $\text{[math]}$ π时，不满足tanx=x，
故当x= $\text{[math]}$ π时，f（x）取不到极小值，故③错．
综上可得真命题的序号为①②，
故选A．
点评：本小题主要考查利用导数研究函数的极值、函数单调性、函数奇偶性、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．