Question

【题目】已知、分别是离心率为的椭圆：的左、右焦点，点是椭圆上异于其左、右顶点的任意一点，过右焦点作的外角平分线的垂线，交于点，且（为坐标原点）．

（1）求椭圆的方程；

（2）若点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于、两点，问：的周长是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．

Answer 1

【答案】(1);(2)6.

【解析】试题分析：（1）由已知条件求出，再由离心率，求出b的值，写出椭圆方程；（2）设的方程为（，），由直线AB与圆相切，求得

，设 ，（），联立直线与椭圆方程，消去y得到一个关于x的一元二次方程，求出的值，再算出弦长的表达式，由两点间的距离公式算出 的表达式，算出的周长为定值。

试题解析：（1）延长交直线于点，

∵为的外角平分线的垂线，∴，为的中点，

∴ ，

由椭圆的离心率，得，，

∴椭圆的方程为．

（2）由题意，设的方程为（，），

∵直线与圆相切，∴，即，

由得，

设 ，（），则，，

，

又，

∴，

同理，

∴ ，

∴，即的周长为定值6．