题目内容
【题目】设
，
分别是椭圆C：
的左、右焦点，过且斜率不为零的动直线l与椭圆C交于A，B两点．
Ⅰ
求
的周长；
Ⅱ若存在直线l，使得直线
，AB，
与直线
分别交于P，Q，R三个不同的点，且满足P，Q，R到x轴的距离依次成等比数列，求该直线l的方程．
【答案】（1）
（2）
．
【解析】
Ⅰ
的周长为
；
Ⅱ
由题意得l不垂直两坐标轴，故设l的方程为
，因为P，Q，R到x轴的距离依次成等比数列，所以
，联立
与椭圆方程，消去y，利用韦达定理，即可得出结论．
解：Ⅰ因为椭圆的长轴长
，焦距
．
又由椭圆的定义得
所以
的周长为
Ⅱ由题意得l不垂直两坐标轴，故设l的方程为
于是直线l与直线
交点Q的纵坐标为
设
，
，显然
，
，
所以直线
的方程为
故直线与直线交点P的纵坐标为
同理，点R的纵坐标为
因为P，Q，R到x轴的距离依次成等比数列，所以
即
整理得
联立与椭圆方程，消去y得
所以
，
代入
化简得
解得
经检验，直线l的方程为．
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