Question

【题目】已知函数，设．

（1）判断函数零点的个数，并给出证明；

（2）首项为的数列满足：①；②．其中．求证：对于任意的，均有．

Answer 1

【答案】（1）有且仅有一个零点；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）先求得的定义域为再证明在上单调递增，即可得结果；（2）利用导数研究函数的单调性，求出数列的最大项与最小项，即可证得结论.

试题解析：（1）由题意知，

当且仅当时等号成立，因此在上单调递增，又，

故函数在上有且仅有一个零点；

（2）由（1）可知在上单调递增，且，

故当时， ，即；

当时， ，即．

因为当，所以，

若，则由，又在上单调递减知，

即这与矛盾，故，

而当时， 单调递增，故；

同理可证，

故数列为单调递增数列且所有项均小于，

因此对于任意的，均有．