Question

（本小题共13分）

已知函数的导函数，数列的前n项和为，点（）均在函数的图象上．

   （Ⅰ）求数列的通项公式及前项和；

   （Ⅱ）存在，使得对任意恒成立，求出的最小值；

（Ⅲ）是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为 ，所以 ．

因为 ， 所以，．

所以．                                    

因为 点（）均在函数的图象上，

所以 ．                                    

当时，，

当时，，

所以  （）．                               ………………………4分

（Ⅱ）存在，使得对任意恒成立．

只要

由（Ⅰ）知，

 所以 ．

当时，；  当时，；  当时，；

所以 当或时，有最大值是．

所以 ，

又因为 ，

所以的最小值为．                                        ………………………8分

（Ⅲ）存在，使得为数列中的项．

由（Ⅰ）知 ，

所以 ，，，

所以 ．

令，

所以 ，

如果 是数列中的项，那么为小于等于5的整数，

所以 ．

当或时，，不合题意；

当或时，，符合题意．

所以，当或时，即或时，为数列中的项．

………………………13分