Question

已知过椭圆的右焦点F斜率是1的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率是    ．

Answer 1

【答案】分析：设出A、B两点的坐标，A（m，m-c），B（ n，n-c），由 得 m+2n=3c ①，再根据椭圆的第二定义，=2=，可得 2n-m=  ②，由①②解得 m 和 n的值，再代入椭圆的第二定义，e===，解方程求得e的值．
解答：解：右焦点F（c，0），直线的方程为  y-0=x-c． 设 A（m，m-c），B（ n，n-c），
由 得 （c-m，c-m）=2 （n-c，n-c），∴c-m=2（n-c），m+2n=3c ①．
再根据椭圆的第二定义，=2=，∴2n-m=  ②，
由①②解得   m=，n=．
据椭圆的第二定义，e=== 
==，
∴3e³-3e-e²+=0，（e²-1）•（3e- ）=0．∵0＜e＜1，
∴e=，故椭圆的离心率是  ，故答案为  ．
点评：本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用．