Question

已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=-（x-1）²+1，满足f[f（a）]=的实数a的个数为________个．

Answer 1

8
分析：令f（a）=x，则f[f（a）]=，转化为f（x）=．先解f（x）=在x≥0时的解，再利用偶函数的性质，求出f（x）=在x＜0时的解，最后解方程f（a）=x即可．
解答：令f（a）=x，则f[f（a）]=，变形为f（x）=；
当x≥0时，f（x）=-（x-1）²+1=，解得x₁=1+，x₂=1-；
∵f（x）为偶函数，
∴当x＜0时，f（x）=的解为x₃=-1-，x₄=-1+；
综上所述，f（a）=1+或1-或-1-或-1+．
当a≥0时，
f（a）=-（a-1）²+1=1+，方程无解；
f（a）=-（a-1）²+1=1-，方程有2解；
f（a）=-（a-1）²+1=-1-，方程有1解；
f（a）=-（a-1）²+1=-1+，方程有1解；
故当a≥0时，方程f（a）=x有4解，
由偶函数的性质，易得当a＜0时，方程f（a）=x也有4解，
综上所述，满足f[f（a）]=的实数a的个数为8，
故答案为：8．
点评：题综合考查了函数的奇偶性和方程的解的个数问题，同时运用了函数与方程思想、转化思想和分类讨论等数学思想方法，对学生综合运用知识解决问题的能力要求较高，是高考的热点问题．