Question

如图扇形AOB是一个观光区的平面示意图，其中∠AOB的圆心角为，半径OA为1km。为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由弧AC、线段CD及线段BD组成，其中D在线段OB上，且CD∥AO，设∠AOC=θ，
（Ⅰ）用θ表示CD的长度，并写出θ的取值范围；
（Ⅱ）当θ为何值时，观光道路最长？

Answer 1

解：（Ⅰ）在△OCD中，由正弦定理，得，
又CD∥AO，CO=1，∠AOC=θ，
所以，
因为OD＜OB，所以，
所以，
所以，
θ的取值范围为；
（Ⅱ）设道路长度为L（θ），
则L（θ）=BD+CD+弧CA的长
，
L′（θ）=，
由L′（θ）=0，得，
又，
所以，列表

所以当时，L（θ）达到最大值，
即当时，观光道路最长。