Question

如图扇形AOB是一个观光区的平面示意图，其中∠AOB的圆心角为，半径OA为1Km，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由圆弧AC、线段CD及线段BD组成．其中D在线段OB上，且CD∥AO，设∠AOC=θ，
（1）用θ表示CD的长度，并写出θ的取值范围．
（2）当θ为何值时，观光道路最长？

Answer 1

【答案】分析：（1）利用θ表示CD的长度的关键是在△COD中正确利用正弦定理；
（2）首先将道路长度L（θ）表达成θ的函数关系式，再利用导数方法研究函数的最大值，从而可以求得θ=时，观光道路最长．．
解答：解：（1）在△COD中，由正弦定理得，又CD∥AO，CO=1，∠AOC=θ，所以
因为OD＜OB，所以，所以，所以
，θ的取值范围为
（2）设道路长度L（θ），则，
由L′（θ）=0得，又，所以
易得时，L（θ）取到最大值，即θ=时，观光道路最长．
点评：解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情境”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系抽象成数学问题，在数学领域寻找适当的方法解决，再返回到实际问题中加以说明．