Question

已知数列满足．
（1）证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）若数列满足．证明：数列是等差数列．
（3）证明：．

Answer 1

（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.

试题分析：（1）证明数列为等比数列，就是证明为一个常数. 因为,所以，所以,是以2为首项,2为公比的等比数列. 则,即,；（2）证明数列是等差数列，就是要证明为一个常数．首先化简等式，即，所以，这实质是，因此作差消去得：，再作差消去常数得：，，即；（3）证明数列不等式，一般有两个思路，一是求和，二是放缩.本题由于通项不适宜求和，所以尝试放缩，即利用变量分离进行放缩，由，得.
试题解析：（1）因为,所以,且,
所以,是以2为首项,2为公比的等比数列.  2分
则,即,.  3分
（2）因为所以.   4分
所以    ①
 ②      6分
②-①,得  
即   ③
   ④  8分
④-③,得,
即
得, 10分
所以数列为等差数列.
(3）因为, 11分
所以. 12分