Question

（2011•浙江模拟）在数列{a_n}中，其前n项和S_n与a_n满足关系式：（t-1）S_n+（2t+1）a_n=t（t＞0，n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）设数列{a_n}的公比为f（t），已知数列{b_n}，b1=1，bn+1=3f(

1

bn

)  (n=1，2，3，…)，求b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+（-1）ⁿ⁺¹b_nb_n+1的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 当n=1时，（t-1）S₁+（2t+1）a₁=t，可求的首项a₁=

1

3

；当n≥2时，（t-1）S_n+（2t+1）a_n=t，（t-1）S_n-1+（2t+1）a_n-1=t，两式相减可得（t-1）a_n+（2t+1）a_n-（2t+1）a_n-1=0，从而有

an

an-1

=

2t+1

3t

，故可知数列{a_n}是以

2t+1

3t

为公比，

1

3

为首项的等比数列；
（II）由（Ⅰ）可知，f(t)=

2t+1

3t

(t＞0)，bn+1=3f(

1

bn

)，则b_n+1=b_n+2，从而可得数列{b_n}是以2为公差，首项为1的等差数列，从而b_n=2n-1由于涉及（-1）ⁿ⁺¹，故分n为偶数及奇数分类求和．

解答：证明：（Ⅰ） 当n=1时，（t-1）S₁+（2t+1）a₁=t，∴a₁=

1

3

当n≥2时，（t-1）S_n+（2t+1）a_n=t，（t-1）S_n-1+（2t+1）a_n-1=t
∴（t-1）a_n+（2t+1）a_n-（2t+1）a_n-1=0
∴3ta_n=（2t+1）a_n-1，t＞0
∴

an

an-1

=

2t+1

3t

，a1=

1

3

∴数列{a_n}是以

2t+1

3t

为公比，

1

3

为首项的等比数列；
解：（II）由（Ⅰ）可知，f(t)=

2t+1

3t

(t＞0)，bn+1=3f(

1

bn

)，则b_n+1=b_n+2
所以，数列{b_n}是以2为公差，首项为1的等差数列
即b_n=2n-1
①当n为奇数时，
b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+（-1）ⁿ⁺¹b_nb_n+1
=b₁b₂+b₃（b₄-b₂）+b₅（b₆-b₄）+…+b_n（b_n+1-b_n-1）
=3+4（b₃+b₅+…+b_n）
=2n²+2n-1
②当n为偶数时，
b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+（-1）ⁿ⁺¹b_nb_n+1
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_n（b_n-1-b_n+1）
=-4（b₂+b₄+…+b_n）
=-（2n²+2n）
所以，原式=

2n2+2n-1       n为奇数 -(2n2+2n)       n为偶数

点评：本题以数列递推式为载体，考查等比数列的定义，考查等差数列的通项，同时考查了分类讨论的数学思想，综合性强．