Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且PD=AD，点E和点F分别是PB和CD的中点，PH为△PAD中AD边上的高．
（1）证明：PH⊥平面ABCD；
（2）证明：平面PBF⊥平面PAB．

Answer 1

分析：（1）根据AB⊥面PAD结合线面垂直的性质可得AB⊥PH，结合PH为△PAD中AD边上的高及线面垂直的判定定理，可得PH⊥平面ABCD；
（2）取PA中点G，连接DG，GE，可证得四边形DGEF为平行四边形，根据等腰三角形三线合一可得DG⊥PA，再由（1）中结论及线面垂直的判定定理可证DG⊥平面PAB，由线面垂直的第二判定定理可得EF⊥平面PAB，最后由面面垂直的判定定理得到答案．

解答：证明：（1）∵AB⊥面PAD，PH?面PAD，
∴AB⊥PH，
又∵PH⊥AD，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，AB∩AD=A，
∴PH⊥平面ABCD；
（2）取PA中点G，连接DG，GE，

∵GA=GP，PE=EB ∴GE= 1 2 AB，GE∥AB

又∵DF=

1

2

CD，DF∥CD，CD=AB，
∴GE=DF且GE∥DF，即四边形DGEF为平行四边形，
∴EF∥DG，
∵DP=DA
∴DG⊥PA，
又∵AB⊥平面PAD，DG?平面PAD
∴AB⊥GD，
又∵PA∩AB=A，PA?平面PAB，AB?平面PAB，
∴DG⊥平面PAB，
∵DG∥EF，
∴EF⊥平面PAB，
又∵EF?平面PBF
∴平面PBF⊥平面PAB．

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面垂直的判定，熟练掌握空间线线垂直，线面垂直及在面垂直之间的相互转化是解答的关键．