Question

已知函数f（x）=2sinxcosx-2cos²x（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[0， 

π

2

]时，求函数f（x）的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式、两角差的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[0， 

π

2

]时，推出-

π

4

≤2x-

π

4

≤

3π

4

，结合正弦函数的最值，求函数f（x）的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）因为f（x）=sin2x-cos2x-1=

2

sin(2x-

π

4

)-1．
所以T=

2π

2

=π．（7分）
（Ⅱ）f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)-1
当x∈[0， 

π

2

]时，-

π

4

≤2x-

π

4

≤

3π

4

，
所以当2x-

π

4

=

π

2

，f(x)max=

2

-1，
当2x-

π

4

=-

π

4

，f（x）_min=-2．
所以f（x）的取值范围是[-2， 

2

-1]．（13分）

点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，二倍角公式、两角差的正弦函数公式等知识，考查计算能力．