题目内容

在△ABC中，满足
AB
与
AC
的夹角为60°，M是AB的中点．
（1）若|
AB
|=|
AC
|，求向量
AB
+2
AC
与
AB
的夹角的余弦值．
（2）若|AB|=2，|
BC
|=2
3
，在AC上确定一点D的位置，使得
DB
•
DM
达到最小，并求出最小值．
分析：（1）设|
AB
|=|
AC
|=a，根据数量积的运算求余弦值，
（2）根据余弦定理求出|AC|=4，则AM=1，设AD=x，则DC=4-x，用x表示出
DB
•
DM
，根据一元二次函数求最值的方法求出最值．
解答：解：（1）设|
AB
|=|
AC
|=a，cos＜
AB
+2
AC
，
AB
＞=
(
AB
+2
AC
)•
AB
  
|
AB
+2
AC
|  |
AC
|
=
a2+a2
7a2
a
= 
2
7
7

（2）因为＜
AB
，
AC
＞  =60°，|AB|=2，|
BC
|=2
3
，由余弦定理知：|AC|=4
M是AB的中点，所以AM=1，因为D是AC上一点，设AD=x，则DC=4-x，所以
DB
•
DM
=(
DA
+
AB
)  •(
DA
+
AM
)=
DA
2+ 
DA
•
DM
+
AB
•
DA
+
AB
•
AM

=x2-
1
2
x-
1
2
×2x+2=(x-
3
4
)2+
23
16

所以当x=
3
4
∈(0，4)时，即D距A点
3
4
处，
DB
•
DM
取到最小，最小值为
23
16
．
点评：本题考查了平面向量数量积的运算，以及一元二次函数求最值，是综合题．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC
（1）求角B的大小；
（2）若b=
7
，a+c=4，求△ABC的面积S．
在△ABC中，满足（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB，且△ABC的外接圆半径为
2
．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）求△ABC面积S的最大值，并判断此时的三角形形状．
（2007•河东区一模）在△ABC中，设a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为△ABC的面积，且满足条件4sinB•sin2（
π
4
+
B
2
）+cos2B=1+
3
．
（Ⅰ）求∠B的度数；
（Ⅱ）若a=4，S=5
3
，求b的值．
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足
a
sinA
=
b
3
cosB
，则B=
 
．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=
3
acosC．
（1）求角C的大小；
（2）当
3
sinA-cosB取得最大值时，请判断△ABC的形状．

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