Question

10．求下列函数的值域：
（1）y=$\sqrt{x+2}$-$\sqrt{1-x}$；
（2）y=2x+$\sqrt{1-x}$．

Answer 1

分析 （1）对原函数两边平方便可得到${y}^{2}=3-2\sqrt{-{x}^{2}-x+2}$，配方便可得到$-{x}^{2}-x+2=-（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{9}{4}$，从而可以得出y²的范围，从而得出y的范围，即得出该函数的值域；
（2）可换元去根号：令$\sqrt{1-x}=t$，t≥0，从而可以解出x，带入原函数即可得到y=-2t²+t+2，这样配方求该二次函数在t≥0上的值域即可．

解答 解：（1）${y}^{2}=（\sqrt{x+2}-\sqrt{1-x}）^{2}=3-2\sqrt{（x+2）（1-x）}$=$3-2\sqrt{-{x}^{2}-x+2}$；
$-{x}^{2}-x+2=-（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{9}{4}$；
∴$0≤-{x}^{2}-x+2≤\frac{9}{4}$；
∴$0≤\sqrt{-{x}^{2}-x+2}≤\frac{3}{2}$；
0≤y²≤3；
∴$-\sqrt{3}≤y≤\sqrt{3}$；
∴原函数的值域为：[$-\sqrt{3}，\sqrt{3}$]；
（2）令$\sqrt{1-x}=t，t≥0$，则x=1-t²；
∴y=2-2t²+t=$-2（t-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{17}{8}$$≤\frac{17}{8}$；
∴该函数的值域为（$-∞，\frac{17}{8}$]．

点评 考查函数值域的概念，平方的方法及换元的方法去函数解析式中的根号，换元后要确定新变量的范围，配方求二次函数值域的方法．