Question

设函数f（x）=lnx+ax（a＜0）．
（I）当a=-1时，f（x）+m＜0恒成立，求实数m的取值范围；
（II）若f（x）在区间（0，2）为单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（I）f（x）=lnx-x的定义域为（0，+∞）

由f'（x）=0，
解得x=1；f'（x）＞0，
解得0＜x＜1；f'（x）＜0，
解得x＞1
∴f（x）的递增区间为（0，1）；
f（x）递减区间为：（2，+∞）
故f（1）=-1为最大值．
要使f（x）+m＜0恒成立，
即f（x）＜-m恒成立?-1＜-m
则m＜1
（II）f（x）=lnx+ax（x＞0，a＜0）

由f'（x）=0，
解得；f'（x）＞0，
解得；
f'（x）＜0，
解得
要f（x）在区间（0，2）为单调函数，
则．
故实数a的取值范围[-，0）．
分析：（I）当a=-1时，f（x）=lnx-x，求出导数f′（x），由此利用导数工具研究f（x）的单调性和最大值，最后利用要使f（x）+m＜0恒成立，即f（x）＜-m恒成立，从而得出实数m的取值范围；．
（II）由f（x）=lnx+ax（x＞0，a＜0），得出f′（x），由f（x）在区间（0，2）为单调函数，建立关系a的不等关系，能求出实数a的取值范围．
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用、利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，推理论证能力．