题目内容
在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为A（-1，0），B（1，0），平面内两点G，M同时满足一下条件：
①
+
+
=
；②|
|=|
|=|
|；③
∥
．
（1）求△ABC的顶点C的轨迹方程；
（2）过点P（3，0）的直线l与（1）中的轨迹交于E，F两点，求
•
的取值范围．
①
| GA |
| GB |
| GC |
| 0 |
| MA |
| MB |
| MC |
| GM |
| AB |
（1）求△ABC的顶点C的轨迹方程；
（2）过点P（3，0）的直线l与（1）中的轨迹交于E，F两点，求
| PE |
| PF |
分析：（1）根据|
|=|
|，可得M在线段AB的中垂线上，从而可得M的坐标，利用
+
+
=
可得重心坐标与C坐标之间的关系，利用|
|=|
|，即可得到定点C的轨迹方程；
（2）设直线l的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，表示出
•
，结合由△＞0，即可求得
•
的取值范围．
| MA |
| MB |
| GA |
| GB |
| GC |
| 0 |
| MB |
| MC |
（2）设直线l的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，表示出
| PE |
| PF |
| PE |
| PF |
解答：解：（1）设C（x，y），G（x0，y0），M（xm，ym）
∵|
|=|
|，∴M在线段AB的中垂线上，
∵A（-1，0），B（1，0），∴xm=0
∵
∥
，∴ym=y0…．（2分）
∵
+
+
=
，∴（-1-x0，-y0）+（1-x0，-y0）+（x-x0，y-y0）=（0，0）
∴x0=
，y0=
，ym=
…．（4分）
∵|
|=|
|，∴
=
，即x2+
=1(y≠0)
所以定点C的轨迹方程为x2+
=1(y≠0)…．（6分）
（2）设直线l的方程为：y=k（x-3），E（x1，y1），F（x2，y2）
由
消去y得：（k2+3）x2-6k2x+9k2-3=0①
∴x1+x2=
，x1x2=
…．（8分）
∴
•
=(x1-3)(x2-3)+y1y2=(k2+1)[x1x2-3(x1+x2)+9]=24-
…．（10分）
由△＞0得k2＜
，k≠0，∴3＜k2+3＜
∴
•
的取值范围为(8，
)…．（12分）
∵|
| MA |
| MB |
∵A（-1，0），B（1，0），∴xm=0
∵
| GM |
| AB |
∵
| GA |
| GB |
| GC |
| 0 |
∴x0=
| x |
| 3 |
| y |
| 3 |
| y |
| 3 |
∵|
| MB |
| MC |
(1-0)2+(0-
|
(x-0)2+(y-
|
| y2 |
| 3 |
所以定点C的轨迹方程为x2+
| y2 |
| 3 |
（2）设直线l的方程为：y=k（x-3），E（x1，y1），F（x2，y2）
由
|
∴x1+x2=
| 6k2 |
| k2+3 |
| 9k2-3 |
| k2+3 |
∴
| PE |
| PF |
| 48 |
| k2+3 |
由△＞0得k2＜
| 3 |
| 8 |
| 27 |
| 8 |
∴
| PE |
| PF |
| 88 |
| 9 |
点评：本题考查向量知识的运用，考查曲线的轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，正确运用向量知识是关键．
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