Question

函数f（x）=sin（ωx+?）（ω＞0，0≤?≤π）是R上的偶函数，
（1）求?的值．
（2）若f（x）图象上的点关于M（

3

4

π，0）对称，①求ω满足的关系式；②若f（x）在区间[0，

π

2

]上是单调函数，求ω的值．

Answer 1

（1）由f（x）是偶函数，可得f（0）=±1，
故sin?=±1，即?=kπ+

π

2

，
结合题设0≤?≤π，解之得?=

π

2

，…（5分）
（2）由（1）知f（x）=sin(ωx+

π

2

)=cosωx，
∵f（x）图象上的点关于M（

3

4

π，0）对称，
∴f（

3

4

π）=cos

3

4

ωπ=0，故

3

4

ωπ=kπ+

π

2

(k∈N)
即ω=

2

3

(2k+1)，k=0，1，2，…．…（10分）
∵f（x）在区间[0，

π

2

]上是单调函数，可得

π

2

≤

1

2

•

2π

ω

，即ω≤2
又∵ω=

2

3

(2k+1)，k=0，1，2，…．
∴综合以上条件，可得ω=

2

3

或ω=2．…（16分）